Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-yz=a\\y^2-xz=b\\z^2-xy=c\end{matrix}\right.\) với x, y, z thuộc Z và x, y, z khác 0. Chứng minh:\(ax+by+cz⋮x+y+z\); a, b, c, d là các số nguyên khác nhau
\(\text{cho x,y,z }\in Z;x,y,z\)khác nhau.
biết \(\left\{{}\begin{matrix}A=x^2-yz\\B=y^2-xz\\C=z^2-xy\end{matrix}\right.\)
cm: Ax+By+Cz chia hết cho A+B+C
Cho a, b, c, x, y, z là các số nguyên dương thoả mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{a+yz}\\y=\sqrt{b+xz}\\z=\sqrt{c+xy}\end{matrix}\right.\) . Cmr: \(\left(ax+by+cz\right)^2\) chia hết cho (a+b+c)(x+y+z)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=x^2-yz\\b=y^2-zx\\c=z^2-xy\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\)
Mặt khác cũng từ trên ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}ax=x^3-xyz\\by=y^3-xyz\\cz=z^3-xyz\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow ax+by+cz=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
Ta có đẳng thức quen thuộc:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow ax+by+cz=\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\)
Cho x,y,z là 3 số nguyên khác nhau. Chứng minh nếu a=x^2-yz; b=y^2-xz; c=z^2-xy thì tổng ax+by+cz chia hết cho (a+b+c)
Từ giả thiết
x^2 - yz = a
y^2 - zx = b
z^2 - xy = c
ta suy ra
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = a + b + c # 0 (vì x,y,z không đồng thời bằng nhau);
và
x^3 - xyz = ax
y^3 - xyz = by
z^3 - xyz = cz.
Cộng các đẳng thức theo vế, ta được
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ax + by + cz.
Sử dụng hằng đẳng thức x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) và x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = a + b + c thì đẳng thức trên được viết lại
(x + y + z)(a + b + c) = ax + by + cz.
Suy ra ax + by + cz chia hết cho a + b + c.
bài này dùng chia hết thôi
1. \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-yz=a\\y^2+xz=b\\z^2+xy=c\end{matrix}\right.\) Tính \(\frac{ax-by-cz}{x-y+z}\)theo a,b,c
2. \(x^2+y^2+\frac{9}{2}z^2=5\). Tìm maxA \(=xy+yz+zx\)
1, Mk nghĩ là yêu cầu: Tính \(\frac{ax-by-cz}{x-y-z}\) theo x,y,z
Có \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-yz=a\\y^2+xz=b\\z^2+xy=c\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-xyz=ax\\y^3+xyz=by\\z^3+xyz=cz\end{matrix}\right.\)
Có: \(ax-by-cz=x^3-xyz-y^3-xyz-z^3-xyz=x^3-y^3-z^3-3xyz\)
=\(\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-z^3-3xyz\)
=\(\left(x-y-z\right)\left[\left(x-y\right)^2+z\left(x+y\right)+z^2\right]+3xy\left(x-y-z\right)\)
=\(\left(x-y-z\right)\left(x^2-2xy+y^2+xz+yz+z^2+3xy\right)\)
=\(\left(x-y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\right)\)
=>\(\frac{ax-by-cz}{x-y-z}=x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz\)
Bài 2 là loại bài buồn ngủ, cách làm cơ bản như sau:
Nhìn hệ số dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(x=y\), vậy để tìm hệ số, ta thiết lập các BĐT sau:
\(x^2+y^2\ge2xy\) ; \(a^2x^2+b^2z^2\ge2abxz\) ; \(a^2y^2+b^2z^2\ge2abyz\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)x^2+\left(a^2+1\right)y^2+2b^2z^2\ge2\left(xy+abyz+abzx\right)\) (1)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2b^2}{a^2+1}=\frac{9}{2}\\ab=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4b^2=9a^2+9\\a=\frac{1}{b}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4b^2=\frac{9}{b^2}+9\Rightarrow4b^4-9b^2-9=0\Rightarrow b=\sqrt{3}\) \(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Hệ số đã xong, vậy thì bài toán được giải như sau:
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\) ; \(\frac{1}{3}y^2+3z^2\ge2yz\) ; \(\frac{1}{3}x^2+3z^2\ge2xz\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{4}{3}\left(x^2+y^2+\frac{9}{2}z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2}{3}.5=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y=\sqrt{2};z=\frac{\sqrt{2}}{3}\\x=y=-\sqrt{2};z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\end{matrix}\right.\)
giải hệ 1 \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
2.\(\left\{{}\begin{matrix}xy-x-y=5\\yz-y-z=11\\zx-z-x=7\end{matrix}\right.\)
3.\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\\y^2+xy-yz+z^2=0\\x^2-xy-xz-z^2=2\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé
2. \(\left\{{}\begin{matrix}\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=6\\\left(yz-y\right)-\left(z-1\right)=12\\\left(zx-z\right)-\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)=12\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)
Đến đây dễ rồi
cho x,y,z thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=2\\xy+yz+xz=1\end{matrix}\right.\)
chứng minh \(\dfrac{-4}{3}\le x,y,z\le\dfrac{4}{3}\)
https://olm.vn/hoi-dap/detail/227981379332.html
Bạn tham khảo ở đây nhé.
Giai he phuong trinh:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right).\left(y+z\right)=187\\\left(y+z\right).\left(z+x\right)=154\\\left(z+x\right).\left(x+y\right)=238\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\\x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=3^{2020}\end{matrix}\right.\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z>=0\\x+y+z=2\end{matrix}\right.\) CMR \(\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{1}{y^2-yz+z^2}+\dfrac{1}{z^2-xz+x^2}\ge3\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\)
\(y^2-yz+z^2=y^2+\left(z-y\right)y\le y^2\Rightarrow\dfrac{1}{y^2-yz+z^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{z^2-xz+x^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{x^2-xy+y^2}+\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2}+\dfrac{1}{xy}\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2\left(x^2-xy+y^2\right)}}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{3}{xy}\ge\dfrac{12}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{12}{\left(x+y+z\right)^2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;0\right)\) và hoán vị
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}xyz=8\\xy+yz+xz< 2\left(x+y+z\right)\end{matrix}\right.\)
Chứng minh trong 3 số x,y,z có đúng một số lớn hơn 2
g/s
z>y>2>x
(1); xyz=8=>2>x>0
(2)<=>
y(2-x)=2y-xy<0
z(2-x)=2z-xz<0
=>xy+xz>2y+2z
zy>2x
=>xy+yz+xz>2(x+y+z)
g/s sai=>dpcm